Franc Forstnerič: Matematika je ustvarjanje reda v vesolju

Franc Forstnerič je leta 1985 na Univerzi Washington v ameriškem Seattlu doktoriral z disertacijo s področja holomorfnih preslikav v več kompleksnih spremenljivkah. Med študijem se je seznanil tudi s teorijo Oka-Grauert, ki obravnava obstoj in lastnosti holomorfnih preslikav med določenimi razredi kompleksnih mnogoterosti. Ta teorija podaja rešitve vrste naravnih problemov v kompleksni analizi in geometriji, njene aplikacije pa segajo na vrsto drugih področij matematike in širše. Za njen razvoj je "sedaj dobil, sicer v dosti bolj razširjeni obliki, ta ERC projekt," je povedal v pogovoru za STA. "Ampak tedaj med doktorskim študijem je bilo zame to še prezgodaj, nisem dobro razumel, kaj bi s to stvarjo počel, ker je bila to starejša teorija, ki bi jo bilo treba razširiti in razviti in za to je potrebna primerna matematična zrelost," se spominja matematik.

Po doktoratu se je Forstnerič leta 1985 vrnil v Slovenijo in se zaposlil na Univerzi v Ljubljani. V letu 1987/88 je gostoval na Inštitutu Mittag-Leffler v Stockholmu, dve leti zatem je bil en semester na Inštitutu Max Planck v Bonnu, leta 1991 pa je znova odpotoval v ZDA na Univerzo Wisconsin v Madisonu, kjer je ostal vse do leta 1997, ko se je vrnil v Ljubljano. "Po tej vrnitvi sem se začel intenzivno ukvarjati s teorijo Oka-Grauert. Leta 1989 je bil objavljen pomemben članek na to temo, od izjemno vidnega rusko-francoskega matematika Mikhaela Gromova, prejemnika Abelove nagrade za matematiko l. 2009. Gromov je teorijo postavil na nove temelje, uvedel nove tehnike in nakazal možni nadaljnji razvoj, vendar v svojem članku ni prikazal podrobnih dokazov. Gromov je genialen matematik, ki je prispeval bistvene nove ideje na vrsti matematičnih področij, podrobne utemeljitve in nadaljnji razvoj pa pogosto prepusti drugim."

Forstnerič je v raziskave vključil svojo doktorsko študentko Jasno Prezelj in s skupnimi močmi jima je uspelo v nekaj letih narediti ključen preboj v razumevanju idej Gromova. V člankih, objavljenih v letih 2000-2002, sta podala podrobnosti konstrukcije in nekaj posplošitev. Zatem se je Forstnerič naprej ukvarjal s problemom karakterizacije razreda kompleksnih mnogoterosti, za katere veljajo rezultati omenjene teorije. Leta 2006 je v reviji Annals of Mathematics izšel njegov članek, v katerem je okarakteriziral ta razred s preprosto "lastnostjo konveksne aproksimacije" in z vrsto drugih lastnosti, za katere ni bilo očitno, da so med seboj ekvivalentne.

"Ta lastnost mnogoterosti pomeni, da lahko vsako holomorfno preslikavo konveksne množice v nekem kompleksnem evklidskem prostoru v dano mnogoterost aproksimiramo s holomorfnimi preslikavami celotnega evklidskega prostora," je pojasnil Forstnerič. S tem je rešil enega od ključnih problemov, ki jih je zastavil Gromov v svojem članku iz leta 1989 in v nekaj letih je nastala zaokrožena teorija. Na tej osnovi je Forstnerič leta 2009 v literaturo uvedel nov razred kompleksnih mnogoterosti, ki jih je poimenoval Oka mnogoterosti, po začetniku te teorije, Japoncu Kiyoshiju Oki. Teorijo je Forstnerič prikazal v monografiji pri založbi Springer (2011 in 2017).

Mnogoterosti so geometrijski objekti, kot so krivuje, ploskve in višje razsežne ploskve. "Svet, v katerem živimo, je mnogoterost," je razložil matematik. "Mi živimo na sferi; krogla, galaksije, vesolje, to so vse mnogoterosti." Kompleksne mnogoterosti imajo vedno sodo število dimenzij. "Na njih imamo dodatno strukturo, ki opredeli poseben razred preslikav med temi mnogoterostmi, to so holomorfne preslikave," je povedal Forstnerič. V najpreprostejšem primeru dvorazsežnih ploskev nam kompleksna struktura omogoča merjenje kotov in holomorfne preslikave so takšne, ki ohranjajo kote. "Se pravi, če opazujete dve krivulji, ki se sekata pod nekim kotom, pa jih preslikate, se bosta preslikani krivulji sekali pod enakim kotom. Take preslikave imenujemo konformne."

Holomorfne preslikave so pomembne med drugim zato, ker naravno nastopajo v fizikalnih problemih. "Na primer, če hočete oblikovati letalsko krilo, morate študirati laminarni tok. Krilo je v toku zraka, ta zrak se bo odbijal, krilo mu bo spreminjalo smer in s tem bo povzročalo vzgon. To je tisto, kar letalo drži v zraku. Ko pa hočete modelirati, kako bo ta tok zraka okrog krila tekel, narišete obliko in potem morate izračunati, kaj se bo dogajalo. Bolj preprosto je, da se s konformno preslikavo to obliko krila preslika na krog. Ko jo preslikamo na krog, imamo tam eksplicitne rešitve laminarnega toka, ki se kroga izogne. Potem te rešitve s konformno preslikavo preslikamo nazaj. To je recimo ena preprosta uporaba takih preslikav," je razložil Forstnerič.

Pomembno priznanje je teorija Oka doživela leta 2020. "Vsakih 10 let Ameriško matematično društvo (AMS) v sodelovanju z nemško revijo Zentralblatt fur Mathematik obnovi klasifikacijo matematičnih področij. Za to teorijo ni bilo primernega področja, zato smo ga predlagali in so to sprejeli. Uvedli so novo področje z imenom Oka theory and Oka manifolds. To je moj prispevek v klasifikacijo. Če prav vem, je to v Sloveniji drugi tak primer v matematiki," je povedal Forstnerič.

Njegovo delo je zanimivo še z vidika, da je pripomoglo k temu, da se je teorija o tej vrsti kompleksnih mnogoterosti po 80 letih vrnila nazaj domov na Japonsko. Po tem, ko je leta 1939 raziskave na tem področju pričel japonski matematik Oka in so jih nadaljevali matematiki nemške šole okrog Hansa Grauerta, ki so teorijo razvijali do 70. let preteklega stoletja, je področje samevalo vse do leta 1989, ko ga je ponovno oživil Mikhail Gromov, za njim pa štafeto prevzel Forstnerič.

"Gromov je to terijo postavil na nove temelje, moj glavni prispevek pa je v tem, da sem jo konceptualiziral in s tem naredil širše uporabno. Ne le v kompleksni analizi, ampak tudi na drugih področjih, npr. v teoriji minimalnih ploskev." Delo Forstneriča je navdihnilo mladega japonskega matematika Yuto Kusakabeja, ki je v svoji doktorski disertaciji leta 2020 uspel narediti nekaj pomembnih prebojev na tem področju. Našel je karakterizacijo Oka mnogoterosti, ki jo je v praksi lažje preveriti, kar odpira pot nadaljnjemu razvoju.

"Njega konkretno vabim v Slovenijo. Ima sicer mlado družino, tako da trenutno ne more priti, a ker bo projekt trajal pet let, se nadejam, da bo v tem času uspel dobiti kakšno sobotno leto in bo prišel sem. Vesel sem, da mi je uspelo privabiti k sodelovanju Rafaela Andrista, uveljavljenega raziskovalca z doktoratom Univerze v Bernu."

Projekt ERC, ki ga je pridobil Forstnerič, mu bo namreč omogočil nemoteno osredotočeno raziskovalno delo v naslednjih pet letih in oblikovanje mednarodne skupine raziskovalcev. Projekt se bo izvajal na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani.

"Projekt mi bo omogočil zaposlitev poleg sebe še treh, morda štirih raziskovalcev. Projekt je interdisciplinarne narave in se dotika področij, ki jih človek sam ne obvlada in zato želi sodelovanje raziskovalcev, ki vedo več o njih," je dejal profesor matematike. "V okviru projekta želimo natančneje določiti položaj in vlogo Oka mnogoterosti v klasifikaciji kompleksnih mnogoterosti ter bolje razumeti povezave z metričnimi lastnostmi in z drugimi fleksibilnostnimi lastnostmi, ki se obravnavajo v literaturi. Poleg tega bomo nadaljevali z uporabo kompleksne analize v teoriji minimalnih ploskev, ki jo razvijamo zadnje desetletje v sodelovanju s kolegoma z Univerze v Granadi in o čemer smo leta 2021 objavili monografijo pri založbi Springer," je dodal profesor.

Forstnerič pravi, da je v znanosti zelo pomembno v pravem trenutku postaviti nov koncept: "Morda so bili primeri že prej obravnavani, ampak če enkrat uvedeš ustrezen koncept in pokažeš, da ima veliko različnih karakterizacij, ki vse vodijo v isti cilj, potem to lahko postane zametek neke nove teorije." Za to pa je potrebno tako dobro poznavanje nekega specifičnega znanstvenega področja, kot tudi sposobnost zaznati in abstrahirati ključne lastnosti. "Seveda si tega ne moreš poljubno izmisliti. Moraš imeti srečo, da zadeneš tako lastnost, za katero se potem dejansko da pokazati, da povezuje več različnih fenomenov v enovito sliko," je razložil.

"Matematika je na nek način ustvarjanje reda v vesolju. To ni samo računanje. Morate postaviti koncept in na osnovi tega koncepta razvijati teorijo. Ko enkrat postavite pravi koncept, potem se da stvar naprej razvijati, dokler ga pa ni, je pa to vse malce megleno," je zaključil matematik.